DM de math (besoin d'aide)

Bonjour à tous,

Voilà, j'ai un exercice de mon Dm que je ne comprend point !

Le sujet :

Dans le plan, on considère un cercle , A, B, C, D 4 points situés dans cet ordre sur le cercle . On note P, Q, R, S les milieux respectifs des arcs (orientés) AB, BC, CD, DA de .

La question est :

Montrer que soit les droites (PR) et (QS) sont orthogonales, soit les points P,Q,R,S sont confondus.
(On pourra utiliser les nombres complexes dans un repère a préciser en notant a,b,c,d les arguments respectifs de A, B, C, D).



Alors je suis partie la dessus :

On se place évidemment dans un repère orthonormal de centre le centre du cercle . Dans ce repère,
A est d'affixe e^ia
B est d'affixe e^ib
C est d'affixe e^ic
D est d'affixe e^id

Les vecteurs (2PR) et (2QS) sont d'affixes
z=e^ic+e^id-e^ib-e^ia
z'=e^ia+e^id-e^ib-e^ic

Or, on sait que deux vecteurs d'affixes z et z' sont orthogonaux si et seulement si z (barre)(z') est de partie réelle nulle.

Il ne me reste plus qu'à calculer ce produit et à vérifier qu'il est imaginaire pur.

Le probleme c'est que je trouve en résultat :

=2cos(a-c)-2cos(a-d)-2cos(c-b)-2isin(b-d)-2cos(d-c)-2cos(a-b)

Et la je ne vois pas comment determiner que la partie réelle soit nulle !

Une petite aide ne serrait pas de trop ! Merci bien !

cos(a-b) = cos a cos b + sin a sin b ?

Apparemment ce n'est pas nul :

Si on prends b = c = d = 0

On a pour partie réelle -cos a - 2 =/ 0

et la fonction de 4 variables (a,b,c,d) -> Re(/z * z') est continue sur R^4, donc non nul pour au moins un quadruplet (a,b,c,d) avec des valeurs toutes différentes entre elles pour a,b,c et d.


Sinon pour montrer que la partie réelle est nulle, tu peux mq
/ (/z * z') = - /z * z'

A la géométrie !Bonne chance !!