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 Fonctions réciproques ..

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Matt
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MessageSujet: Fonctions réciproques ..   Mer 29 Déc 2010 - 18:36

En fait je fais que chercher mais je n'arrive pas vraiment en m'en sortir je voudrai seulement des pistes :/

Merci =)


a)

Montrer que la fonction ch induit une bijection de [0;+∞[ sur [1,+∞]. On note argch l'application reciproque associée.

b)

Donner le domaine de definition de argch et justifier que argch est de classe C1 sur ]1;+∞[. Montrer que pour tout x∈]1;+∞[, argch'(x)= 1/rac(x²-1)

c)

pour x>1 fixé, résoudre l'équation d'inconnue u>0 : e^(2u) - 2xe^(u) + 1 = 0.

En deduire : argch(x) = ln (x+rac(x²-1))

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Betroix
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MessageSujet: Re: Fonctions réciproques ..   Mer 29 Déc 2010 - 20:13

a) le théorème de la bijection affirme qu'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle constitue une bijection entre cet intervalle et son image.

Autrement dit, il te suffit de montrer que la fonction cosinus hyperbolique est continue et monotone sur [0,+∞[ et puisque c'est le cas et alors elle admet un application réciproque.

b) Le domaine de définition est donné à la question a)
Pour montrer que la fonction est C1 je te renvoie à ton cours tu as surement dû voir un théorème appelé Théorème d'inversion locale (ou peut être qu'il porte un autre nom dans ton cours)
pour montrer la relation argch'(x)= 1/sqrt(x²-1)
tu peux d'abord partir de l'expression ch(arch(x))=x et effectuer une opération pour tomber sur argch'(x) et utiliser la relation ch²u - sh²u = 1

c) pour résoudre cette équation e^(2u) - 2xe^(u) + 1 = 0
il te suffit de diviser par e^(u) et puis de passer le terme en x de l'autre côté de l'équation et après quelque manip' tu tomberas sur quelque chose de familier ^^

Enfin, pour en déduire l'expression donnée, à savoir argch(x) = ln (x+sqrt(x²-1))
il te suffit de réutiliser la solution trouvée au b) puis de te servir de la relation
e^(u) = sh(u) + ch(u)


Dernière édition par Betroix le Sam 1 Jan 2011 - 16:04, édité 1 fois
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Matt
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MessageSujet: Re: Fonctions réciproques ..   Mer 29 Déc 2010 - 20:46

Merci beaucoup pour le temps que tu m'a consacré Smile
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Whit3
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MessageSujet: Re: Fonctions réciproques ..   Mer 29 Déc 2010 - 22:11

Alala ... Et dire que c'est ce qui m'attends x)
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