Equa différentielle (BIS xD)

Salut, c'est encore moi xD

Alors cette fois je bloque (encore) sur un exo d'équa diff d'euler :
x²y"+3xy'+5y=0 (E)

Voila l'énnoncer :
1. Soit y une fonction solution du problème. On pose, pour t appartenant à R, z(t) = y(exp(t)).
(a) Exprimer y(x) en fonction de z(ln(x)) pour x supérieur à 0.
(b) En déduire que la fonction t -> z(t) vérifie sur R une équation (E') d’ordre 2 à
coefficients constants.
(c) Résoudre l’équation (E').
2. Résoudre l’équation (E).

Alors voila ce que j'ai fait :
1/a Pas de mal pour sa, x=exp(t) donc t=ln(x) y(x)=z(ln(x))

b/ La je calcul y' et y" :
y' = 1/x * z'(lnx)
y" = -1/x² z'(lnx) + 1/x² z"(lnx)

Ensuite en remplacant dans (E) j'obtient :
z"(lnx) + 2z'(lnx) + 5z(lnx) = 0

A partir de la je commence a hésiter (surtout que je n'ai même le cours pour voir ^^)

Ce que je pense faire c'est de la dire que z(lnx)=y(x)=y(exp(t))=z(t)

Donc mon équation s'écrit : z"(t) + 2z'(t) + 5z(t) = 0 (E')

Ensuite je la résous normalement :
b/E.C : r²+2r+5=0
r = -1 + 2i
r = -1 - 2i


Donc z(t) = exp(-t)*[ λ*Cos(2t) + μ*Sin(2t) ] = y(exp(t))

Donc si je veut résoudre (E) :
y(t) = -t*[ λ*Cos[ln(t²)] + μ*Sin[ln(t²)]

Moi même je n'y crois pas trop alors je prefere venir demander xD

Merci

Ca me parait bon. Vérifie quand même et surtout regarde aussi pour R entier (là c'est pour x>0)

Oui finalement après explication de mon prof c'est le bon résultat avec la bonne démarche. C'étais mon deuxieme exo de ce type alors j'étais quand meme dans le doute...

Merci

Est-ce que tu es bien sûr que c'est le bon résultat ?

En partant de ton expression de z(t):
z(t) = z(ln(x)) =exp(-ln(x))*[ λ*Cos(2ln(x)) + μ*Sin(2ln(x)) ] = y(x)

Et on tombe plutôt sur:

y(x) = 1/|x|*[ λ*Cos(ln(x²)] + μ*sin(ln(x²) ]

Donc sur l'intervalle ]0;+oo[ : y(x) = 1/x*[ λ*Cos(ln(x²)] + μ*sin(ln(x²) ]
et sur ]-oo;0[ : y(x) =-1/x*[ λ*Cos(ln(x²)] + μ*sin(ln(x²) ]

Eh bien j'ai peut-etre fait une erreur en recopiant ce que j'avais écrit sur ma feuille mais après correction par mon prof le résultat que j'avais trouver étais bon

Dans ce cas c'est parfait.
Parce contre ce qu'il ne faut pas perdre de vue, comme l'a sous-entendu pierrot, c'est qu'une équadiff se résout tout le temps sur un intervalle.