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 Equa différentielle (BIS xD)

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sculvador
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MessageSujet: Equa différentielle (BIS xD)   Dim 14 Nov 2010 - 17:54

Salut, c'est encore moi xD

Alors cette fois je bloque (encore) sur un exo d'équa diff d'euler :
x²y"+3xy'+5y=0 (E)

Voila l'énnoncer :
1. Soit y une fonction solution du problème. On pose, pour t appartenant à R, z(t) = y(exp(t)).
(a) Exprimer y(x) en fonction de z(ln(x)) pour x supérieur à 0.
(b) En déduire que la fonction t -> z(t) vérifie sur R une équation (E') d’ordre 2 à
coefficients constants.
(c) Résoudre l’équation (E').
2. Résoudre l’équation (E).


Alors voila ce que j'ai fait :
1/a Pas de mal pour sa, x=exp(t) donc t=ln(x) y(x)=z(ln(x))

b/ La je calcul y' et y" :
y' = 1/x * z'(lnx)
y" = -1/x² z'(lnx) + 1/x² z"(lnx)

Ensuite en remplacant dans (E) j'obtient :
z"(lnx) + 2z'(lnx) + 5z(lnx) = 0

A partir de la je commence a hésiter (surtout que je n'ai même le cours pour voir ^^)

Ce que je pense faire c'est de la dire que z(lnx)=y(x)=y(exp(t))=z(t)

Donc mon équation s'écrit : z"(t) + 2z'(t) + 5z(t) = 0 (E')

Ensuite je la résous normalement :
b/E.C : r²+2r+5=0
r = -1 + 2i
r = -1 - 2i



Donc z(t) = exp(-t)*[ λ*Cos(2t) + μ*Sin(2t) ] = y(exp(t))

Donc si je veut résoudre (E) :
y(t) = -t*[ λ*Cos[ln(t²)] + μ*Sin[ln(t²)]

Moi même je n'y crois pas trop alors je prefere venir demander xD

Merci Smile
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pierrot
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MessageSujet: Re: Equa différentielle (BIS xD)   Lun 15 Nov 2010 - 16:00

Ca me parait bon. Vérifie quand même et surtout regarde aussi pour R entier (là c'est pour x>0)
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sculvador
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MessageSujet: Re: Equa différentielle (BIS xD)   Mar 16 Nov 2010 - 0:56

Oui finalement après explication de mon prof c'est le bon résultat avec la bonne démarche. C'étais mon deuxieme exo de ce type alors j'étais quand meme dans le doute...

Merci
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Betroix
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MessageSujet: Re: Equa différentielle (BIS xD)   Jeu 18 Nov 2010 - 20:23

Est-ce que tu es bien sûr que c'est le bon résultat ?

En partant de ton expression de z(t):
z(t) = z(ln(x)) =exp(-ln(x))*[ λ*Cos(2ln(x)) + μ*Sin(2ln(x)) ] = y(x)

Et on tombe plutôt sur:

y(x) = 1/|x|*[ λ*Cos(ln(x²)] + μ*sin(ln(x²) ]

Donc sur l'intervalle ]0;+oo[ : y(x) = 1/x*[ λ*Cos(ln(x²)] + μ*sin(ln(x²) ]
et sur ]-oo;0[ : y(x) =-1/x*[ λ*Cos(ln(x²)] + μ*sin(ln(x²) ]
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sculvador
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MessageSujet: Re: Equa différentielle (BIS xD)   Jeu 18 Nov 2010 - 23:09

Eh bien j'ai peut-etre fait une erreur en recopiant ce que j'avais écrit sur ma feuille mais après correction par mon prof le résultat que j'avais trouver étais bon Smile
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Betroix
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MessageSujet: Re: Equa différentielle (BIS xD)   Ven 19 Nov 2010 - 1:15

Dans ce cas c'est parfait.
Parce contre ce qu'il ne faut pas perdre de vue, comme l'a sous-entendu pierrot, c'est qu'une équadiff se résout tout le temps sur un intervalle.
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