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 Equa différentielle

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sculvador
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MessageSujet: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 18:14

Salut,

J'ai un exo sur les équa diff et je bloque pas mal dessus alors j'aimerais un peu d'aide ^^

J'ai cette equa diff : y'+(xy)/(1+x^2) = 1/(x*Racine(1+x^2))
J'écrit que la solution de l'equa homogene est yh=Lambda * e(-ln(x^2+1)/2)

Et j'utilise la méthode de variation de la constante pour avoir la solution particuliere :

yo = Lambda(x) * e(-ln(x^2+1)/2)

y'o = Lambda'(x) * e(-ln(x^2+1)/2) - [ Lambda(x)*x*e(-ln(x^2+1)/2) ] / (1+x^2)

Je remplace ensuite yo dans mon equa diff et je trouve :
Lambda'(x) = 1/(xRacine(1+x^2)) * e(ln(x^2+1)/2)

Jusque la c'est correcte ?
Parcontre pour trouver Lambda en intégrant la je bloque... :/

Si jamais quelqu'un pouvait m'expliquer en détails ... cheers

Merci
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 19:50

Tu mélanges deux choses:

Soit tu vois une solution particulière f0 et alors S: {x-> f0 + sol (E)homogène}

Ou tu fais la méthode de variation de la cste:

f(x)=g(x)e(-A(x)) ; A(x) étant la primites de la fonction qui coefficientes y et alors:

f sol de (E) équivaux à g'(x)e(-A(x))=ton scd membre
ensuite tu intègre g(x) (diffère d'une cste: ça va te "donner" le lambda de l'autre methode) et ensuite:

f(x)=g(x).e(-A(x)) (toutes les sol)
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 19:56

Et si tu block c'est parce que tu ne simplifie pas:

lambda*e(-0.5*ln(x^2+1))

utilise: aln(x) = ln(x^a)
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 20:00

Ah bien vue !
Du coup sa me donne une racine et tout devient plus clair ^^

Parcontre j'ai pas très bien compris ton premier message.
Si je veut la résoudre celle ci je dois :
1) Ecrire la solution yh de l'équation homogene
2) Faire varier la constante et dire que c'est une solution particuliere y0
3) Remplacer y0 dans (E) pour avoir Lambda en intégrant
4) Theoreme de structure : y = y0+yh ?

Enfaite je connais les méthodes mais pour les appliquer sa part completement en cacahouette lol!

Merci
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 20:12

Non avec la méthode de variation de la constante tu as directement toutes les solutions, essaye avec ton exo:
sans variations de la cste tu dis que tu vois une sol particulière:
f0(x) = [ln(x)]/[racine(x^2+1)] et ensuite tes solutions sont cette sol part. + les solutions de l'equ homogène
Et avec variation de la constante: tu obtiens la même chose.

Dans les deux cas tu n'as qu'une constantes, dans ton explication il y en aurait deux: celles des solutions de (E) homogène, et celle quand tu intègres avec la variation de la constante.

Par contre théorème de structure connait pas, vous avez vu ça avec les equ diff ?


Dernière édition par Lemon_Aid le Sam 13 Nov 2010 - 20:40, édité 1 fois
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 20:20

Hmm ok
Donc enfaite quand on trouve la solution de (Eh), pour trouver une solution particuliere on lui fait juste varier la constante ?
Et une fois que l'on a trouver la constante ?
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 20:38

En fait j'ai compris, ça revient au même comme tu fais, c'est juste que quand on intègre la fonction dans la méthode on met une constante et vu que l'on définie f(x) sol/ f(x)=g(x).e(-A(x)) ça revient au même.. Excuse pour l'embrouillage..
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 20:49

Ah y'a pas de soucis ^^
J'ai suivie tes explication et je viens d'y arriver Very Happy

J'arrive avec y0 a Lambda(x) = ln(x)

Donc maintenant j'utilise y(1)=2 pour trouver le Lambda de yh :

Lambda*exp( -ln(Racine(1^2+1)) ) = 2
Lambda*0.707106... = 2
Lambda = 2/0.707106... = 2.8284

et ensuite j'additionne les deux solution :

y= y0+yh = ln(x)* exp( -ln(Racine(x^2+1)) ) + 2.8284*exp( -ln(Racine(x^2+1)) )

C'est la bonne demarche ?

Merci ^^
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 21:07

Heu..y(1)=2 c'est un pb de cauchy ?! Ton y=y0+yh ne décrit pas toutes les sol de (E): il n'y a pas de cst, je comprends pas la.

Moi j'ai pas vu de la même façon, on a pas parler de "théorème de structure", la variation de la cst on fait: f(x) sol de (E)/ f(x) = g(x)*e(-A(x)) avec A(x) primitive de la fonction coefficient de y,
ensuite tu dis que si f est solution alors g'(x)*e(-A(x))=tn scd membre,
donc tu trouve g(x) en intégrant et en rajoutant une constante puis tu utilise:
f(x) = g(x)*e(-A(x)) et tu as toutes les solutions.

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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 21:26

Jamais entendu parler de cauchy xD

Enfaite dans mon cours quand je regarde la méthode de variation de la constante voila les étapes :
On trouve la solution de lequation homogene

on fait varier la constante de cette solution
On remplace dans lequation (E) en finissant par quelquechose = Le 2nd membre
On intégre

Ensuite on additionne les deux solution (particuliere que l'on a trouver en faisant varier la constante, et la solution homogene)
Et on obtient toute les solution :/

A mon avis on c'est juste mal compris lol
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 21:42

^^ oui en fait ça revient au même.
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Sam 13 Nov 2010 - 21:57

Dacc ^^

Bon bah du coup c'est clos pour cette question Very Happy
Merci pour tes explication ^^
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Lun 15 Nov 2010 - 16:30

sculvador a écrit:
Jamais entendu parler de cauchy xD

Enfaite dans mon cours quand je regarde la méthode de variation de la constante voila les étapes :
On trouve la solution de lequation homogene

on fait varier la constante de cette solution
On remplace dans lequation (E) en finissant par quelquechose = Le 2nd membre
On intégre

Ensuite on additionne les deux solution (particuliere que l'on a trouver en faisant varier la constante, et la solution homogene)
Et on obtient toute les solution :/

A mon avis on c'est juste mal compris lol

C'est peut être inutile mais pour récapituler et simplifier:

*Ton equation a cette tête là: y'+b(x)*y=c(x)
Bien sûr d'abord solution homogène: y0 vérifiant y'+b(x)*y=0 => y0(x)=lambda*exp(-B(x)) où B est primitive de b

*Recherche d'une solution particulière sous la forme y(x)=a(x)*y0(x)
Intérêt? Si tu remplaces dans l'equation tu obtiens: a'(x)*y0(x)+a(x)*(y0'(x)+b(x)*y0(x))=c(x)
Or y0'(x)+b(x)*y0(x)=0 Ton équation devient simplement a'(x)*y0(x)=c(x)
Cette méthode te permet de simplifier énormément l'équation

a'(x)=c(x)/y0(x)
Tu intègres et prends une fonction "a" particulière pour pouvoir avoir une solution particulière



Ici c'est très simple: y'+(xy)/(1+x^2) = 1/(x*Racine(1+x^2))
y0(x)=Lambda * e(-ln(x^2+1)/2)=(x^2+1)^(-1/2) (ou 1/Racine(x^2+1)) en prenant lambda=1 (tu t'en fiches ce que tu veux c'est une solution particulière)

On pose y1(x)=a(x)*y0(x)
On injecte dans l'équation et on obtient: a'(x)=Racine(1+x^2)*(1/(x*Racine(1+x^2)))=1/x

Donc l'ensemble des solutions est {y:x->(lambda+ln(x))*1/Racine(x^2+1) ; lambda dans R}
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MessageSujet: Re: Equa différentielle   Mar 16 Nov 2010 - 0:55

Merci pierrot pour se récaputilatif bien expliquer ^^
Et ces sur qu'en me faisant remarquer certains points sa simplifie grandement les choses !
Merci Smile
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