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 Inégalités triangulaire

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Matt
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MessageSujet: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 12:02

J'aimerai un peu d'aide Svp pour cette inégalité triangulaire je ne trouve pas le bon résultat :s

|z+1| + |z-1| >= 2 Sachant que z est de module 1 Smile

Merci beaucoup
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dolloe
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 12:13

En fait je ne comprends pas, tu dois prouver que cette inégalité est vraie c'est ca ?
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Matt
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 12:23

euu oui c'est ça Smile

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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 12:49

Dans ce cas tu utilises l'inégalité triangulaire |a+b|>=||a|-|b||.

Voici mon idée de démonstration :

|z+1| + |z-1| >=||z+1| - |z-1| |
or |z+1| >= ||z|-|1||=1-1=0
|z-1| <= ||z|+|-1||=|1+1=2 donc - |z-1|>=-2

Donc |z+1| + |z-1| >=|0 -2 |=2 cqfd.
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 13:01

Merci beaucoup c'est très gentil Wink

Si tu as le temps j'ai aussi du mal a faire ceci : ( je ne demande pas forcement la solution mais seulement une amorce =) )

|z+1|² + |z-1|² = 4 Sachant que z est de module 1
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 13:21

De rien.

Pour ta deuxième question, comme je ne me souviens plus si on peut développer |z+1|² ?, je pensais poser z=x+i*y et utiliser la propriété |z|²=z*conjugué de z= (x+i*y)*(x-i*y)

De ce fait tu as;
|z+1|²=[(x+1)+i*y]*[(x-1)-i*y] et après quand tu développes tout ca, tu dois obtenir sauf erreur de ma part :

|z+1|²=x²+y²+2*x+1

De même tu as |z-1|²=x²+y²-2*x+1

En faisant la somme des 2 tu as |z+1|²+|z-1|²=2(x²+y²)+2
z est de module de 1 donc par définition du module |z|=1=V(x²+y²) soit 1=x²+y²

En remplaçant tu obtiens |z+1|²+|z-1|²=2*1+2=4 cqfd
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 13:36

en effet on a le droit de poser

|z+z'|² = z²+2Re(zz'*)+z'² donc <= |z|² + 2|z||z'| + |z'|²

Merci pour ce que tu as fait je vais essayer de comprendre :p
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 13:51

Ah merci pour ce rappel^^

Dans ce cas pour |z+1|², tu poses z=z et z'=1, tu as donc :
|z+1|²=|z|²+2*Re(z*1)+|1|=|1|²+2*Re(z)+1 =2+2*Re(z) (tu retrouves bien ce que j'ai fait tout à l'heure, en effet |z|²=x²+y² et 2*Re(z)=2*x)

|z-1|²=|z|²+2*Re(z*(-1))+|1|=|1|²-2*Re(z)+1 =2-2*Re(z)

En faisant la somme tu as donc bien

|z+1|²+|z-1|²=2+2*Re(z)+2-2*Re(z)=4
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 14:22

Merci j'ai compris tout ce que tu as fait et j'ai une question Smile

tu es entré a l'insa de lyon en quelle année ? tu as eu du mal ?
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 14:39

Bon ca va j'explique pas encore trop mal alors^^

Je suis rentré à l'INSA en septembre 2009, donc là je suis en niveau bac+4. Actuellement, je suis en stage pour un semestre donc du coup je ne peux pas te dire pour cette année, seulement pour l'année dernière :

Au premier semestre, j'ai revu pas mal de choses de la prépa et de prébac en élec (ce qui était nouveau pour les gens venant de la prépa intégrée !), donc c'était tranquille.
Après au deuxième semestre j'ai commencé à voir certaines nouvelles notions et j'ai eu un peu mal en électronique et informatique. J'avais surtout plus l'habitude de travailler..

Mais j'ai quand même réussi à valider toutes les matières, sans avoir de rattrapages Very Happy .

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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 14:47

Ok je te remercie !

tu es rentrée en 1iere ou 2nd année ? et apres la sup ou la spé ? Maintenant j'arrete de te harceler :p

merci Bon week end et bonne continuation Smile
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Sam 6 Nov 2010 - 15:07

Lol un forum est fait pour poser des questions après tout !

Je suis rentré après la spé. C'est une école sur dossier !

Merci bonne continuation à toi aussi. Bon week end Smile.
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Dim 7 Nov 2010 - 4:48

dolloe a écrit:
Dans ce cas tu utilises l'inégalité triangulaire |a+b|>=||a|-|b||.

Voici mon idée de démonstration :

|z+1| + |z-1| >=||z+1| - |z-1| |
or |z+1| >= ||z|-|1||=1-1=0
|z-1| <= ||z|+|-1||=|1+1=2 donc - |z-1|>=-2

Donc |z+1| + |z-1| >=|0 -2 |=2 cqfd.

Je ne suis pas d'accord

Ce que j'ai compris de ta démarche:
(1) |z+1| + |z-1| >=||z+1| - |z-1| | OK
(2) |z+1| >=0 et - |z-1|>=-2 OK
(3) (2)=> |z+1| - |z-1| >=-2 donc ||z+1| - |z-1||>=2 FAUX
(4) (3)&(1)=>résultat


Pourquoi ?
a+b>=c n'implique pas |a+b|>=|c| (exemple: a=1 b=1 et c=-4)

Mon résultat:
Place les points z+1et z-1 sur un repère. Je les note A et B. z a une norme de 1 donc est un point quelconque sur un cercle centré en l'origine O et de rayon 1.
Tu verras tout de suite que la distance entre A et B vaut 2 (<=>AB=2)
|z+1|=AO et |z-1|=OB
Or AO+OB>=AB donc le résultat

Autrement: inégalité triangulaire ( explication ici: http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_triangulaire ):
|x+y|<=|x|+|y|
tu prends x=z+1 , y=z-1 et le résultat est immédiat



Deuxième exo:
Je donnerai juste interprétation graphique (dessine tu verras tout de suite!) parce qu'il est tard!

mêmes notations:
A d'affixe z+1
B " z-1
O origine
J'ajoute C d'affixe z

AC=|z-z-1|=1
de la même façon: AC=BC=OC=1

=>A,B et O sur cercle de centre C et de rayon 1
Or C est le milieu de AB. Donc ABO est un triangle rectangle en O, avec AB=2 (car AOB est inscrit dans le cercle de centre C milieu de l'hypoténuse)
Pythagore: AO²+OB²=AB²=4 d'où le résultat
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Dim 7 Nov 2010 - 13:10

Merci beaucoup pour ces explications Smile

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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Dim 7 Nov 2010 - 17:04

De rien, s'il reste un point à éclaircir n'hésite pas.
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MessageSujet: Re: Inégalités triangulaire   Dim 7 Nov 2010 - 18:22

Merci pierrot d'avoir corrigé mes bêtises !
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