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 [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive

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Lemon_Aid
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MessageSujet: [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive   Ven 8 Jan 2010 - 16:32

Bonjour à tous.

Je suis en term, en ce moment en maths on est dans les intégrale. Je voudrai savoir si il existe des techniques pour trouver les primitives lorsque l'on est pas dans un cas usuel.

Est-ce que toutes fonctions continue sur un intervalle admet une primitive sur cette intervalle ?

Par exemple: sqrt(x^2+3x-2) si on veut chercher une primitive de cette fonction, comment procède-t-on ?
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dolloe
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MessageSujet: Re: [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive   Ven 8 Jan 2010 - 16:44

Salut

Oui il me semble que toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive. Effectivement il y a quelques technique usuelles : intégration par parties (IPP),changement de variable, utilisation des fonction Arcos, Arcsin etc.. Ne t'en fais pas tu les verras en fin de sup Very Happy

Mais pour certaines intégrales (genre exp(x^2)), il n'est pas possible de donner une écriture plus explicite d'une primitive que sous la forme intégrale : int(exp(t^2),t, 0,x)

D'après la calculatrice, il existe une primitive explicite de ton expression, dont l'expression est compliquée.
Mais parfois la démarche est longue, j'ai des souvenirs de spé ou il fallait plus d'une page complète pour le calcul d'une intégrale.
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Lemon_Aid
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MessageSujet: Re: [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive   Ven 8 Jan 2010 - 23:07

Ok

Ça donne en effet des fonctions assez complexe, pour la fonction que j'ai proposé:
(avec géogebra)

f(x) = sqrt(x^2+3x-2)

F(x) = (0.5x+0.75)*sqrt(x^2+3x-2)-2.13*ln(2*sqrt(x^2+3x-2)+2x+3)

Par contre la fonction f est définie sur ]-inf;-3.5[ U ]0.5;+inf[

Alors que la fonction F est définie sur ]0.5;+inf[

Ce n'est donc pas la même intervalle, en dérivant indépendament F on ne retrouve pas la même fonction mais elle s'en rapproche, définie sur la même intervalle de f.
Au passage c'est la première fois que je vois une différence d'intervalle entre une fonction et ça dérivé, mais j'ai pas encore fais les logarithmes.

Peut-on donc dire qu'il n'existe donc pas de primitive "exacte" pour certaines fonctions ?

Enfin si j'ai bien compris la dérivation, c'est déjà une méthode approximative dont la valeur de la dérivé en un point vaut la valeur du coef.dir. de la tangente à la courbe en ce point?
Le cour est introduit comme cela en première en tout cas, il y a donc un "problème" avec le changement d'intervalle...
Je n'ai donc pas encore tout vu sur la dérivation ?!
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dolloe
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MessageSujet: Re: [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive   Sam 9 Jan 2010 - 14:35

En fait chaque fonction continue f sur un intervalle I admet une primitive F sur cet intervalle I.
Ici f est continue sur ]0.5;+inf[, donc elle admet une primitive F1 sur ]0.5;+inf[, dont tu as donné l'expression.
Mais f est aussi continue sur ]-inf;-3.5[, donc elle admet une primitive F2 sur ]-inf;-3.5
Géovega a écrit:
iennent du fait que la fonction f, que tu proposes, n'est pas continue, mais continue par morceaux (sur des intervalles).

[quote="Géovega"]Peut-on donc dire qu'il n'existe donc pas de primitive "exacte" pour certaines fonctions ?
Oui je t'ai donné le cas de la fonction f(x)=exp(x^2) , où exp représente la fonction exponentielle (fonction réciproque du logarithme). Mais je pense que tu n'as pas dû encore voir cette fonction, tout comme le logarithme ?

Oui effectivement le nombre dérivé d'une fonction en un point est, si celui-ci existe, le coefficient directeur de la tangente en ce point. Tu as dû avoir comme définition du nombre dérivée, la limite du taux d'accroissement.

Oui ne t'en fais pas, il y a un chapitre consacré à la dérivation en sup. Et puis après tu verras la dérivation pour les fonctions à plusieurs variables, comme par exemple f(x,y)=x+y^2 ...

PS : N'oublie jamais qu'une primitive est toujours définie à une constante près !
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MessageSujet: Re: [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive   Sam 9 Jan 2010 - 15:46

Pourtant le logiciel me donne une primitive définie seulement sur [3.5;+in[ , la partie négative n'a donc elle pas de primitive.

Sinon pour l'exp j'ai commencé vite fais à le voir mais tout seul, en fait la "grande" particularité de cette fonction c'est que le nombre dérivé sera toujours égale au nombre non dérivée, puis les autres particularité en découle.(?)
Je me suis souvent posé la question de la façon dont est définie cette fonction (algorithmie?), tout comme les fonctions puissances quelconque, enfin plutôt la façon dont on doit si prendre pour calculer de tête l'image d'un nombre par une de ces fonctions. La façon dont pense la calculette en fait. Bref j'ai encore le temps de voir ça.
Je te remercie pour tes réponses.
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MessageSujet: Re: [intégrale] Questions concernant la recherche de primitive   Sam 9 Jan 2010 - 16:35

En fait je me demande si il ne faut pas changer x en -x quand x appartient à l'intervalle négatif..
Le logiciel donne qu'une seule réponse (un peu quand tu lui demandes un arcosinus ).
Enfin j'avoue, je ne suis pas sûr de ce que je dis concernant l'intervalle négatif..

Oui c'est une particularité de la fonction exponentielle (qui provient d'un théorème de la dérivation d'une bijection). Ses propriétés sont surtout que
exp(a)*exp(b)=exp(a+b)
exp(a)^b=exp(a*b)
Les fonctions puissance sont en fait des fonction exponentielles a^x=exp(x*ln(a))

Moi même je ne sais pas encore très bien comment ca fonctionne de façon précise. Mais en école d'ingénieur, j'ai un cours d'analyse numérique, qui montre des méthodes numériques pour approximer des fonctions par polynômes, calculer des intégrales numériquement, etc..
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