transformations complexes

Bonjour à tous je viens faire appel à vous car je bloque sérieusement sur un exercice de maths, voilà l'énnoncé:
R désigne la rotation de centre C d'affixe c et d'angle pi/3;

1)Montrer que l'écriture complexe de R est: z'= -j²z -jc lorsque j=e^i(2pi/3) .

2)En déduire que lorsque a,b,c désignent les affixes respectives des points A,B et C, le triangle ABC est équilatéral si et seulement si a+bj+cj² ou a+bj²+cj=0

3)Calculer (a+bj+cj²)(a+bj²+cj), en déduire de ce qui précède une condition nécéssaire et suffisante pour que le triangle ABC soit équilatéral.

Merci d'avance!

Slt,

Pour la 1) :

Pour une rotation de centre C et d'angle pi/3 on a z'=c+e^i*(pi/3) (z-c) (j'ai retrouvé ça dans mon cours de sup^^)
Ensuite en calculant j - e^i*(pi/3)=1 soit e^i*(pi/3)= j+1 que tu remplaces dans l'égalité juste au dessus.
Il vient ainisi que z'=z(1+j)-j*c
Or tu peux démontrer que 1+j+j^2=0 (en passant sous la forme cosinus et sinus) , d'ou 1+j=-j^2
En remplaçant tu trouves finalement que z'=-j^2*z-j*c

Pour la 2) :

Tu cherches les conditions sur le point d'affixe a :
-Le point A s'obtient par rotation de centre C et d'angle Pi/3 du point B donc d'après la question précédente tu remplaces z' par a et z par b
D'ou a=-j^2*b-j*c soit a+j^2*b+j*c=0
-Le point A s'obtient par rotation de centre B et d'angle Pi/3 du point C donc d'après la question précédente tu remplaces z' par a et z par c
D'ou a=-j^2*c-j*b soit a+j^2*c+j*b=0

Pour la 3) :

Ton calcul doit aboutir à (a+bj+cj²)(a+bj²+cj)=(a^2+b^2+c^2)+ (ac+ab+bc) (j+j^2) = (a^2+b^2+c^2) - (ac+ab+bc) (car j+j^2=-1)
La condition est que ce produit soit nul :
Donc a^2+b^2+c^2=ab+ac+bc
Après je vois pas comment exprimer plus simplement la chose lol

merci merci merci beaucoup

De rien !